Dagmar Szarková

Cyklické krivky

Krivka, vytvorená (trajektóriou) dráhou pohybu bodu C pevne spojeného s kružnicou k_h(S_h, r_h),
ktorá sa kotúľa po pevnej kružnici k_p(S_p, r_p), sa nazýva cykloida.
Pohyb nazývame cyklickým pohybom.
Jedna vetva cykloidy vznikne jeným odkotúľaním kružnice k_h po pevnej kružnici k_p,
(t.j. dĺžka jednej vetve cykloidy sa rovná dĺžke obvodu kotúlajúcej sa kružnice k_h). 

Nech vzdialenosť d = |C, S_h|. Rôznymi variantmi vzájomnej polohy kružníc, resp. kružnice a priamky (priamku považujeme za kružnicu s nekonečne veľkým polomerom) získame nasledovné cykloidy:

1. Epicykloida  je krivka vytvorená pohybom bodu C pevne spojeného s kružnicou k_h,
   ktorá sa kotúľa svojim vonkajším obvodom po vonkajšom obvode pevnej kružnice k_p.    
          Ak d = r_h , potom získame prostú epicykloidu – dráha bodu C .
          Ak d < r_h , potom získame skrátenú epicykloidu – dráha bodu C´´ .
          Ak d > r_h , potom získame predĺženú epicykloidu – dráha bodu C´.

• Pascalove závitnice, ak r_h : r_p = 1 : 2 .
• Kardioida je prostá epicykloida, ak r_h : r_p = 1 : 1 .

2. Hypocykloida   je krivka vytvorená pohybom bodu C pevne spojeného s kružnicou k_h,
   ktorá sa kotúľa svojim vonkajším obvodom po vnútornom obvode pevnej kružnice k_p (r_h < r_p).
          Ak d = r_h , potom získame prostú hypocykloidu – dráha bodu C .
          Ak d < r_h , potom získame skrátenú hypocykloidu – dráha bodu C´´.
          Ak d > r_h , potom získame predĺženú hypocykloidu – dráha bodu C´.

• Eliptický pohyb je skrátená a predĺžená hypocykloida, ak r_h : r_p = 1 : 2 .
• Steinerova hypocykloida je prostá hypocykloida, ak r_h : r_p = 1 : 3 .
• Asteroida je prostá hypocykloida, ak r_h : r_p = 1 : 4 .

3. Pericykloida   je krivka vytvorená pohybom bodu C pevne spojeného s kružnicou k_h,
   ktorá sa kotúľa svojim vnútorným obvodom po vonkajšom obvode pevnej kružnice k_p (r_h > r_p).
          Ak d = r_h , potom získame prostú pericykloidu – dráha bodu C .
          Ak d > r_h , potom získame skrátenú pericykloidu – dráha bodu C´´.
          Ak d < r_h , potom získame predĺženú pericykloidu – dráha bodu C´.

Pericykloidálny pohyb je vratný pohyb k epicykloidálnemu pohybu a aj naopak.

4. Ortocykloida   je krivka vytvorená pohybom bodu C pevne spojeného s kružnicou k_h,
   ktorá sa kotúľa po priamke k_p.
          Ak d = r_h , potom získame prostú ortocykloidu – dráha bodu C.
          Ak d < r_h , potom získame skrátenú ortocykloidu – dráha bodu C´´.
          Ak d > r_h , potom získame predĺženú ortocykloidu – dráha bodu C´.

Konštrukcia  bodov prostej ortocykloidy

5. Evolventa kružnice   je krivka vytvorená pohybom bodu C pevne spojeného s priamkou k_h,
   ktorá sa odvaľuje po pevnej kružnici k_p.
          Ak d = 0 , potom získame prostú ortocykloidu  – dráha bodu C .
          Ak d > 0 , potom získame skrátenú ortocykloidu – dráha bodu C´.
          Ak d < 0 , potom získame predĺženú ortocykloidu – dráha bodu C´´.

• Archimedova špirála je skrátená evolventa kružnice pre d = r_h .