Funkcia dvoch premenných

MATEMATIKA II
2. Funkcia viac premenných

2.2 Riešené príklady
Lokálne, viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných

Príklad 1. Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie $f (x, y) = {(x - 1)}^{2} + 2 y^{2}$ .

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny $E_{2}$ .

Nájdeme stacionárne body funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie podľa oboch premenných nulové.

f_{x}^{'} (x, y) = 2 (x - 1), f_{y}^{'} (x, y) = 4 y

Sústava rovníc

2 x - 2 = 0

4 y = 0

má jediné riešenie, bod $[1, 0]$ . Funkcia nemá inhé kritické body.

Druhé parciálne derivácie funkcie f sú

f_{x x}^{''} (x, y) = 2 > 0, f_{x y}^{''} (x, y) = 0, f_{y y}^{''} (x, y) = 4 > 0

a pre Hessián v každom bode $E_{2}$ platí

H = | \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = 8 > 0

V stacionárnom bode $[1, 0]$ má funkcia lokálne minimum, ktorého hodnota je $f (1, 0) = 0.$

Obr 1: Časť grafu funkcie a dotyková rovina v bode lokálneho minima

Príklad 2. Nájdite všetky lokálne extrémy funkcie $f (x, y) = x^{3} y^{2} (6 - x - y)$ .

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny $E_{2}$ .

Nájdeme stacionárne body funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie podľa oboch premenných nulové.

f_{x}^{'} (x, y) = 3 x^{2} y^{2} (6 - x - y) - x^{3} y^{2} = x^{2} y^{2} (18 - 4 x - 3 y)

f_{y}^{'} (x, y) = 2 x^{3} y (6 - x - y) - x^{3} y^{2} = x^{3} y (12 - 2 x - 3 y)

Sústava rovníc

x^{2} y^{2} (18 - 4 x - 3 y) = 0

x^{3} y (12 - 2 x - 3 y) = 0

má nekonečne veľa riešení, sú to body priamky $y = 0$ a body priamky $x = 0$ .

Pre $x \neq 0, y \neq 0$ sa dá sústava napísať v tvare

18 - 4 x - 3 y = 0

12 - 2 x - 3 y = 0

Odpočítaním druhej rovnice od prvej rovnice dostávame

6 - 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = 6 \Leftrightarrow x = 3

a z prvej rovnice vypočítame

3 y = 18 - 4 x \Leftrightarrow 3 y = 18 - 12 \Leftrightarrow y = 2

Stacionárne body sú všetky body $[x, 0], [0, y], [3, 2]$ .

Druhé parciálne derivácie funkcie f sú

f_{x x}^{''} (x, y) = 2 x y^{2} (18 - 4 x - 3 y) - 4 x^{2} y^{2} = 2 x y^{2} (18 - 6 x - 3 y)

f_{y y}^{''} (x, y) = 3 x^{2} y (12 - 2 x - 3 y) - 6 x^{2} y = 3 x^{2} y (6 - 2 x - 3 y)

f_{x y}^{''} (x, y) = 2 x^{2} y (18 - 4 x - 3 y) - 3 x^{2} y^{2} = x^{2} y (36 - 8 x - 9 y)

V bodoch $[x, 0] a [0, y]$ platí

f_{x x}^{''} (x, 0) = f_{y y}^{''} (x, 0) = f_{y y}^{''} (x, 0) = 0

f_{x x}^{''} (0, y) = f_{y y}^{''} (0, y) = f_{y y}^{''} (0, y) = 0

Pre Hessián v týchto bodoch platí

H = | \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} | = 0

a o existencii extrému musíme rozhodnúť pomocou definície. V ľubovoľnom $ɛ -$ okolí bodu $[0, 0]$ platí pre hodnoty funkcie f v bodoch $X = [\pm ɛ, \pm ɛ]$ z okolia (pre malé hodnoty $ɛ > 0$ )

$f (0, 0) = 0, f (ɛ, ɛ) = ɛ^{5} (6 - 2 ɛ) > 0, f (- ɛ, - ɛ) = - ɛ^{5} (6 + 2 ɛ) < 0,$

preto funkcia nemá v bode $[0, 0]$ lokálny extrém.

V stacionárnom bode $[3, 2]$ dostávame

f_{x x}^{''} (3, 2) = 24 (18 - 18 - 6) = - 144 < 0

f_{y y}^{''} (3, 2) = 54 (6 - 6 - 6) = - 324 < 0

f_{x y}^{''} (3, 2) = 18 (36 - 24 - 18) = - 108

Pre Hessián v danom bode platí

H = | \begin{matrix} - 144 & - 108 \\ - 108 & - 324 \end{matrix} | = 46 656 - 11 664 = 34 992 > 0

a preto má funkcia v tomto bode lokálne maximum, ktorého hodnota je

f (3, 2) = 108

Obr 2: Časť grafu funkcie a dotyková rovina v bode lokálneho extrému

Príklad 3. Nájdite lokálne extrémy funkcie $f (x, y) = x^{3} + x y^{2} - 27 x$ .

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny $E_{2}$ .

Nájdeme stacionárne body funkcie, v ktorých sú parciálne derivácie funkcie podľa oboch premenných nulové.

f_{x}^{'} (x, y) = 3 x^{2} {+ y}^{2} - 27

f_{y}^{'} (x, y) = 2 x y

Súradnice stacionárnych bodov sú riešením sústavy

3 x^{2} {+ y}^{2} - 27 = 0

2 x y = 0

Z druhej rovnice dostávame $x = 0, alebo y = 0$ , a po dosadení do druhej rovnice

y^{2} = 27 \Leftrightarrow y = \pm 3 \sqrt{3}

3 x^{2} = 27 \Leftrightarrow x = \pm 3

Stacionárne body sú

A_{1} = [0, 3 \sqrt{3}], A_{2} = [0, - 3 \sqrt{3}], A_{3} = [3, 0], A_{4} = [- 3, 0]

Druhé parciálne derivácie funkcie f sú

f_{x x}^{''} (x, y) = 6 x, f_{x y}^{''} (x, y) = 2 y, f_{y y}^{''} (x, y) = 2 x

V bode $A_{1} = [0, 3 \sqrt{3}]$ platí

D (0, 3 \sqrt{3}) = | \begin{matrix} 0 & 6 \sqrt{3} \\ 6 \sqrt{3} & 0 \end{matrix} | = - 36 \sqrt{3}

a funkcia tu nemá lokálny extrém.

V bode $A_{2} = [0, - 3 \sqrt{3}]$ platí

D (0, - 3 \sqrt{3}) = | \begin{matrix} 0 & - 6 \sqrt{3} \\ - 6 \sqrt{3} & 0 \end{matrix} | = - 36 \sqrt{3}

a funkcia tu nemá lokálny extrém.

V bode $A_{3} = [3, 0]$ platí

D (3, 0) = | \begin{matrix} 18 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} | = 108 > 0, f_{x x}^{''} (3, 0) = 18 > 0

a hodnota lokálneho minima je $f (3, 0) = - 54$ .

Rovnica dotykovej roviny grafu je $z = - 54$ .

V bode $A_{4} = [- 3, 0]$ platí

D (- 3, 0) = | \begin{matrix} - 18 & 0 \\ 0 & - 6 \end{matrix} | = 108 > 0, f_{x x}^{''} (- 3, 0) = - 18 < 0

a hodnota lokálneho maxima je $f (3, 0) = 54$ .

Rovnica dotykovej roviny grafu je $z = 54$ .

Obr 3: Časť grafu funkcie s dotykovými rovinami v bodoch lokálnych extrémov

Príklad 4. Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie $f (x, y) = x^{3} + y^{3}$

pri väzbe $x + y - 3 = 0$ .

Riešenie:

Hľadáme extrémy funkcie dvoch premenných v tých bodoch oboru definície (celá rovina $E_{2}$ ), ktorých súradnice spĺňajú danú väzbu. Väzbou je určená priamka roviny $E_{2}$ .

Vyjadríme y z danej väzby ako funkciu x, $h (x) = y = 3 - x$ a dosadením to funkčného predpisu $f (x, y)$ získame funkciu jednej premennej

f (x, y) = x^{3} + {(3 - x)}^{3} = 9 x^{2} - 27 x + 27

ktorej lokálne extrémy nájdeme v jej stacionárnych bodoch.

f^{'} (x) = 18 x - 27

18 x - 27 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}

f^{″} (x) = 18 > 0

a v bode má funkcia lokálne minimum $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4}$ . Graf funkcie je krivka, ktorá je rezom plochy - grafu funkcie $f (x, y)$ rovinou kolmou na súradnicovú rovinu xy a prechádzajúcou priamkou určenou väzbou.

Funkcia dvoch premenných $f (x, y)$ má v bode $[\frac{3}{2}, \frac{3}{2}]$ viazané lokálne minimum, ktorého hodnota je $f (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{27}{4}$ .

Obr 4: Časť grafu funkcie a viazaný extrém

Príklad 5. Nájdite viazané lokálne extrémy funkcie $f (x, y) = e^{x y}$ pri väzbe $g_{1} (x, y) = x - y = 0$ , a pri väzbe $g_{2} (x, y) = x + y = 0.$

Riešenie:

Funkcia f je definovaná vo všetkých bodoch roviny $E_{2}$ .

Z väzby $g_{1}$ vyjadríme y ako funkciu premennej x

y = h (x) = x

a po dosadení fo funkcie f dostávame funkciu jednej premennej

f (x, h (x)) = F (x) = e^{x^{2}}

Viazané lokálne extrémy pôvodnej funkcie f nájdeme ako lokálne extrémy funkcie jednej premennej $F (x)$ v jej stacionárnych bodoch, v ktorých je prvá derivácia funkcie nulová

F^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}}, 2 x e^{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 0

Funkcia má jediný stacionárny bod $x = 0$ .

Pre druhú deriváciu funkcie v bode $x = 0$ platí

F^{″} (x) = 2 e^{x^{2}} + 4 x^{2} e^{x^{2}}, F^{″} (0) = 2 > 0

a funkcia má v tomto bode lokálne minimum, ktorého hodnota je

F (0) = 1

Pôvodná funkcia $f (x, y)$ má v bode $[0, 0]$ viazané lokálne minimum, $f (0, 0) = 1$ pri väzbe $g_{1} (x, y) = x - y = 0.$

Rovnako z väzby $g_{2} (x, y) = x + y = 0$ vyjadríme y ako funkciu premennej x

y = k (x) = - x

a po dosadení fo funkcie f dostávame funkciu jednej premennej

f (x, k (x)) = H (x) = e^{{- x}^{2}}

Viazané lokálne extrémy pôvodnej funkcie f nájdeme ako lokálne extrémy funkcie jednej premennej $H (x)$ v jej stacionárnych bodoch, v ktorých je prvá derivácia funkcie nulová

H^{'} (x) = - 2 x e^{{- x}^{2}}, - 2 x e^{{- x}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 0

Funkcia má jediný stacionárny bod $x = 0$ .

Pre druhú deriváciu funkcie v bode $x = 0$ platí

H^{″} (x) = - 2 e^{{- x}^{2}} + 4 x^{2} e^{{- x}^{2}}, H^{″} (0) = - 2 < 0

a funkcia má v tomto bode lokálne maximum, ktorého hodnota je

H (0) = 1

Pôvodná funkcia $f (x, y)$ má v bode $[0, 0]$ viazané lokálne maximum, $f (0, 0) = 1$ pri väzbe $g_{2} (x, y) = x + y = 0.$

Obr 5: Časť grafu funkcie s viazanými lokálnymi extrémami

Príklad 6. Nájdite globálne extrémy funkcie $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ na množine $M = {[x, y] \in E_{2} : x^{2} + y^{2} ≦ 4}$ .

Riešenie:

Množina M je uzavretá ohraničená oblasť, kruh s polomerom $r = 2$ a stredom v začiatku súradnicovej sústavy, bode $[0, 0]$ . Funkcia f teda má na množine M globálne extrémy.

Lokálne extrémy funkcie vo vnútri množiny M môžu byť iba v jej stacionárnych bodoch, funkcia má v každom bode množiny M parciálne derivácie

$f_{x}^{'} (x, y) = 2 x, f_{y}^{'} (x, y) = - 2 y$

a tie sú nulové iba v bode $[0, 0]$ .

Určíme druhé parciálne derivácie funkcie a ich hodnoty v tomto jedinom stacionárnom bode funkcie.

f_{x x}^{''} (x, y) = 2 > 0, f_{x y}^{''} (x, y) = 0, f_{y y}^{''} (x, y) = - 2 < 0

Hodnota Hessiánu v každom bode množiny M, preto aj v bode $[0, 0],$ je

D (0, 0) = | \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix} | = - 4 < 0

a funkcia f nemá v bode $[0, 0]$ lokálny extrém.

Nájdeme teraz viazané lokálne extrémy funkcie f na hranici množiny M.

Hranicou množiny M je kružnica s rovnicou $x^{2} + y^{2} = 4$ , ktorá určuje väzbu $g (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ .

Vyjadríme

y^{2} = 4 - x^{2}

a dosadíme do funkcie $f (x, y)$

f (x, h (x)) = F (x) = {2 x}^{2} - 4

Funkcia $F (x)$ má prvú deriváciu $F^{'} (x) = 4 x$ , stacionárny bod je $x = 0$ , $F^{″} (x) = 4 > 0$ , a v bode $x = 0$ má funkcia lokálne minimum, $F (0) = - 4$ .

Z väzby vyjadríme hodnotu y v stacionárnom bode funkcie $f (x, y)$ , platí $y^{2} = 4 - 0^{2}, y = \pm 2$ .

Funkcia $f (x, y)$ má v bodoch $[0, 2]$ a $[0, - 2]$ viazané lokálne minimum, ktorého hodnota je

f (0, 2) = f (0, - 2) = - 4.

Ďalej vyjadríme

x^{2} = 4 - y^{2}

a dosadíme do funkcie $f (x, y)$

f (g (y), y) = G (y) = 4 {- 2 y}^{2}

Funkcia $G (y)$ má prvú deriváciu $G^{'} (y) = - 4 y$ , stacionárny bod je $y = 0$ , $G^{″} (y) = - 4 < 0$ , a v bode $y = 0$ má funkcia lokálne maximum, $G (0) = 4$ . Z väzby opäť vyjadríme hodnotu y, platí $x^{2} = 4 - 0^{2}, x = \pm 2 .$

Funkcia $f (x, y)$ má v bodoch $[2, 0]$ a $[- 2, 0]$ viazané lokálne maximum, ktorého

hodnota je

f (2, 0) = f (- 2, 0) = 4.

Obr 6: Časť grafu funkcie s viazanými extrémami

Príklad 7. Nájdite globálne extrémy funkcie $f (x, y) = \cos^{2} x + \sin^{2} y$ na množine $M = {[x, y] \in E_{2} : - \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}, - \frac{π}{2} ≦ y ≦ \frac{π}{2}}$ a jej viazané lokálne extrémy na tejto množine pri väzbe $y - x = \frac{π}{4}$ .

Riešenie:

Nájdeme najprv lokálne extrémy funkcie na vnútre množiny M, a viazané lokálne extrémy na hranici množiny M. Prvé parciálne derivácie sú

f_{x}^{'} (x, y) = - 2 \cos x \sin x

f_{y}^{'} (x, y) = 2 \sin y \cos y

Súradnice stacionárnych bodov spĺňajú rovnice

- 2 \cos x \sin x = 0

2 \sin y \cos y = 0

a sú to body

$A_{1} = [0, 0], A_{2} = [0, \frac{π}{2}], A_{3} = [0, - \frac{π}{2}], A_{4} = [\frac{π}{2}, 0], A_{5} = [- \frac{π}{2}, 0]$

A_{6} = [- \frac{π}{2}, - \frac{π}{2}], A_{7} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], A_{8} = [\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}], A_{9} = [\frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Druhé parciálne derivácie funkcie sú

f_{x x}^{''} (x, y) = 2 \sin^{2} x - 2 co s^{2} x = - 2 \cos 2 x

f_{x y}^{''} (x, y) = 0

f_{y y}^{''} (x, y) = 2 \cos^{2} y - 2 \sin^{2} y = 2 \cos 2 y

Hessián funkcie má tvar

D (x_{0}, y_{0}) = | \begin{matrix} - 2 \cos 2 x & 0 \\ 0 & 2 \cos 2 y \end{matrix} | = - 4 \cos 2 x \cos 2 y

V bode $A_{1}$ platí $D (A_{1}) = - 4$ , funkcia nemá extrém.

V bode $A_{2}$ platí $D (A_{2}) = 4, f_{x x}^{''} (A_{2}) = - 2$ , funkcia tu má lokálne maximum, $f (A_{2}) = 2$ .

V bode $A_{3}$ platí $D (A_{3}) = 4, f_{x x}^{''} (A_{2}) = - 2$ , funkcia tu má lokálne maximum, $f (A_{3}) = 2$ .

V bode $A_{4}$ platí $D (A_{4}) = 4, f_{x x}^{''} (A_{2}) = 2$ , funkcia tu má lokálne minimum, $f (A_{3}) = 0$ .

V bode $A_{5}$ platí $D (A_{5}) = 4, f_{x x}^{''} (A_{2}) = 2$ , funkcia tu má lokálne minimum, $f (A_{3}) = 0$ .

V bode $A_{6}$ platí $D (A_{6}) = - 4$ , funkcia nemá extrém.

V bode $A_{7}$ platí $D (A_{6}) = - 4$ , funkcia nemá extrém.

V bode $A_{8}$ platí $D (A_{6}) = - 4$ , funkcia nemá extrém.

V bode $A_{9}$ platí $D (A_{6}) = - 4$ , funkcia nemá extrém.

Obr 7: Graf funkcie na množine M

Viazané lokálne extrémy funkcie nájdeme pomocou funkcie jednej premennej, ktorú záskame, ak z väzby vyjadríme y ako funkciu x

y = h (x) = x + \frac{π}{4}

a dosadíme do pôvodnej funkcie dvoch premenných

f (x, h (x)) = F (x) = \cos^{2} x + \sin^{2} (x + \frac{π}{4}) .

Lokálne extrémy funkcie F jednej premennej nájdeme známymi metódami.

Funkcia F je definovaná na R, má v každom bode deriváciu

$F^{'} (x) = - 2 \cos x \sin x + 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) = - \sin 2 x + \sin (2 x + \frac{π}{2})$

a lokálny extrémy môže mať len v stacionárnom bode, v ktorom je $F^{'} (x) = 0$ , teda

\sin 2 x = \sin (2 x + \frac{π}{2}) \Leftrightarrow x_{1} = \frac{π}{8}, x_{2} = - \frac{3 π}{8}

a z väzby dostávame $y_{1} = \frac{π}{8} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{8}, y_{2} = - \frac{3 π}{8} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{8}$ .

Pretože $F^{″} (x) = - 2 \cos 2 x + 2 \cos (2 x + \frac{π}{2})$ má v stacionárnych bodoch hodnotu

F^{″} (\frac{π}{8}) = - 2 \cos \frac{π}{4} + 2 \cos \frac{3 π}{4} = - \frac{4}{\sqrt{2}} < 0

F^{″} (- \frac{3 π}{8}) = - 2 \cos (- \frac{3 π}{4}) + 2 \cos (- \frac{π}{4}) = \frac{4}{\sqrt{2}} > 0

v bode $x = \frac{π}{8}$ je lokálne maximum, v bode $x = - \frac{3 π}{8}$ je lokálne minimum. Hodnoty extrémov sú

F (\frac{π}{8}) = \cos^{2} \frac{π}{8} {+ \sin}^{2} (\frac{π}{8} + \frac{π}{4}) ≐ 1, 7071

F (- \frac{3 π}{8}) = \cos^{2} (- \frac{3 π}{8}) {+ \sin}^{2} (- \frac{3 π}{8} + \frac{π}{4}) ≐ 0, 2929

Obr 8: Časť grafu funkcie a viazané extrémy

2.1 - 2.2 Euklidovský n-rozmerný priestor, základné pojmy

2.3 - 2.6 Funkcia viac premenných - obor definície, graf, limita, spojitosť

2.7 - 2.10 Parciálne derivácie funkcie viac premenných, plný diferenciál,
dotyková rovina grafu funkcie dvoch premenných

Riešené príklady 1

2.11 - 2. 13 Extrémy funkcie dvoch premenných - lokálne, globálne, viazané

Riešené príklady v systéme Mathematica 1

Riešené príklady v systéme Mathematica 2

Riešené príklady v systéme Mathematica 3

2.2 Riešené príklady Lokálne, viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných

2.2 Riešené príklady
Lokálne, viazané a globálne extrémy funkcie viac premenných