1. Vypočítajte obsah elementárnej oblasti ohraničenej krivkami s rovnicami y=-x, y=sqrt(x), y=1+sqrt(1-x^2).

y1[x_]=-x
y2[x_]=Sqrt[x]
y3[x_]=1+Sqrt[1-x^2]
Plot[{y1[x],y3[x]},{x,-1,0}]
Plot[{y2[x],y3[x]},{x,0,1}]
Show[%,%%,AspectRatio->Automatic]
P=Integrate[1,{x,-1,0},{y,y1[x],y3[x]}]+Integrate[1,{x,0,1},{y,y2[x],y3[x]}]//Simplify

2. Vypočítajte objem telesa ohraničeného plochami s rovnicami x=0, y=0, x+y=3, z=0, z=1+4x^2+y^2.

y[x_]=3-x
z[x_,y_]=4*x^2+2*y^2+1
Plot3D[z[x,y],{x,0,3},{y,0,3}]
V=Integrate[1,{x,0,3},{y,0,y[x]},{z,0,z[x,y]}]

3. Vypočítajte obsah povrchu telesa ohraničeného plochami s rovnicami x=0, y=4, 2y=x^2+z^2, z>=0.

f[x_,y_]=Sqrt[2*y-x^2]
Plot3D[f[x,y],{x,0,Sqrt[8]},{y,0,4}]
fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]
fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]
g[x_,y_]=1+fx[x,y]*fx[x,y]+fy[x,y]*fy[x,y]
h[x_,y_]=Sqrt[g[x,y]]//Simplify
y1[x_]=x^2/2
P=Integrate[h[x,y],{x,0,Sqrt[8]},{y,y1[x],4}]

4. Vypočítajte hmotnosť elementárnej oblasti ohraničenej priamkami s rovnicami x=3, y=x a hyperbolou s rovnicou y=1/x, pričom plošná hustota nmateriálu tejto homogénnej doštičky je μ(x,y)=x^2/y^2.

μ[x_, y_] = x^2/y^2
y1[x_] = 1/x
y2[x_] = x
Plot[{y1[x], y2[x]}, {x, 1, 3},  
      AspectRatio -> Automatic]
M = 
      Integrate[μ[x, y], {x, 1, 3}, {y, y1[x], 
          y2[x]}]

5. Vypočítajte z-tovú súradnicu ťažiska telesa ohraničeného rovinami s rovnicami x=0, y=0, x+y=1, z=0 a z=3, keď hustota tohto hmotného telesa je v každom bode určená funkciou  μ(x,y,z)=x+2*z.

μ[x_,y_,z_]=x+2*z
y1[x_]=1-x
Plot[{y1[x]},{x,0,1}, AspectRatio->Automatic]
z1=Integrate[z*μ[x,y,z],{x,0,1},{z,1,3},{y,0,y1[x]}]
z2=Integrate[μ[x,y,z],{x,0,1},{z,1,3},{y,0,y1[x]}]
z=z1/z2

6. Vypočítajte statický moment vzhľadom na os y elementárnej oblasti ohraničenej grafmi funkcií y=-x, y=sin x a priamkou s rovnicou x=π, ak jej plošná hustota je konštantná a všade sa rovná μ(x,y)=2.

μ[x_,y_]=2
y1[x_]=-x
y2[x_]=Sin[x]
Plot[{y1[x],y2[x]},{x,0,π}, AspectRatio->Automatic]
SMy=Integrate[x*μ[x,y],{x,0,π},{y,y1[x],y2[x]}]//Simplify

7. Vypočítajte moment zotrvačnosti vzhľadom na os z homogénnej hmotnej oblasti ohraničenej krivkami s rovnicami y=x^2, y^2=x.

σ[x_,y_]=k
y1[x_]=x^2
y2[x_]=Sqrt[x]
Plot[{y1[x],y2[x]},{x,0,1}, AspectRatio->Automatic]
SMy=Integrate[x*σ[x,y],{x,0,π},{y,y1[x],y2[x]}]//Simplify