1. Zobrazte graf funkcie f(x) a jej prvých štyroch derivácií, krivky odlíšte farebne.
V bode [x0, f(x0)], v ktorom platí f(x0) = f´´(x0), nájdite rovnicu dotyčnice grafu funkcie f(x)
a farebne zobrazte grafy oboch funkcií aj dotyčnicu.

f[x_] = Exp[Sin[x]]
g[x_] = D[f[x], x]
h[x_] = D[f[x], x, x] // Simplify
k[x_] = D[f[x], x, x, x] // Simplify
l[x_] = D[f[x], x, x, x, x] // Simplify
Plot[{f[x], g[x], h[x], k[x], l[x]}, {x, -7, 5}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[ .9,  .1,  .1], RGBColor[ .1,  .9,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .1,  .9], 
RGBColor[ .9,  .9,  .1], RGBColor[ .1,  .9,  .9]}]
FindRoot[f[x0] == h[x0], {x0, 2.5}]
t[x_] = f[x0] + g[x0]*(x - x0) /. %
Plot[{f[x], h[x], t[x]}, {x, -7, 5}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[ .9,  .1,  .1], RGBColor[ .1,  .9,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .1,  .9], }]

2. Zobrazte graf funkcie f(x) a jej prvých štyroch derivácií,krivky odlíšte farebne. 
V bode [x0, f(x0)], v ktorom platí f(x0) = f´´(x0), nájdite rovnicu dotyčnice grafu funkcie f(x)
a farebne zobrazte grafy oboch funkcií aj dotyčnicu.

Clear All
f[x_] = Log[Cos[x] + 2]
g[x_] = D[f[x], x] // Simplify
h[x_] = D[f[x], x, x] // Simplify
k[x_] = D[f[x], x, x, x] // Simplify
l[x_] = D[f[x], x, x, x, x] // Simplify
Plot[{f[x], g[x], h[x], k[x], l[x]}, {x, -6.5, 6.5}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[ .9,  .1,  .1], RGBColor[ .1,  .9,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .1,  .9], RGBColor[ .9,  .9,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .9,  .9]}]
FindRoot[f[x0] == h[x0], {x0, 2.5}]
t[x_] = f[x0] + g[x0]*(x - x0) /. %
Plot[{f[x], h[x], t[x]}, {x, -5, 5}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[ .9,  .1,  .1], RGBColor[ .1,  .9,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .1,  .9], }]

3. Vypočítajte obsah oblasti ohraničenej grafmi funkcií f(x) a g(x).

Clear All

f[x_] = 4*(x^3) - 7*x + 4

g[x_] = 5*x*x + 2

Solve[f[x] == g[x], x]

Plot[{f[x], g[x]}, {x, -5, 5}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[ .9,  .1,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .9,  .1]}]

(∫_(-1)^((1/4)))(f[x] - 
            g[x]) \[DifferentialD]x

(∫_((1/4))^2)(g[x] - f[x]) \[DifferentialD]x

(∫_((1/4))^2)(g[x] - 
                f[x]) \[DifferentialD]x + (∫_(-1)^((1/4)))(f[
                  x] - g[x]) \[DifferentialD]x // N

4. Vypočítajte obsah oblasti ohraničenej grafmi funkcií k(x) a l(x).

Clear All

k[x_] = Sin[2*x]*Exp[x]
l[x_] = Log[(x^2)]
Plot[{k[x], l[x]}, {x, -2, 4}, 
      PlotStyle -> {RGBColor[ .9,  .1,  .1], 
          RGBColor[ .1,  .9,  .1]}]

r1 = 
      FindRoot[k[x] == l[x], {x, -1}]
r2 = FindRoot[k[x] == l[x], {x, 2}]
r3 = FindRoot[k[x] == l[x], {x, 3}]

x0=x/.r1[[1]]

x1=x/.r2[[1]]

x2=x/.r3[[1]]

(∫_x0^0)(k[x] - 
              l[x]) \[DifferentialD]x + (∫_0^x1)(k[x] - 
              l[x]) \[DifferentialD]x + (∫_x1^x2)(l[x] - 
              k[x]) \[DifferentialD]x