Základnými geometrickými útvarmi priestoru sú body, priamky a roviny. Pomocou nich vytvárame zložitejšie geometrické útvary - čiary, plochy a telesá. Incidencia bodu a priamky, incidencia bodu a roviny, relácia "ležať medzi", zhodnosť úsečiek a zhodnosť uhlov sú základnými vzťahmi medzi základnými geometrickými útvarmi, ktoré opisuje sústava axióm vymedzujúca pojem geometrie. Euklidovský priestor vymedzuje Hilbertova axiomatická sústava. Obsahuje dvadsaťjeden axióm rozdelených do piatich skupín.

I. Axiómy incidencie

Opisujú relácie vzájomnej polohy bodov, priamok a rovín.

I₁: Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka.

I₂: Každá priamka obsahuje aspoň dva rôzne body.

I₃: Existuje aspoň jedna trojica navzájom rôznych nekolineárnych (neležiacich na jednej priamke) bodov.

I₄: Každé tri nekolineárne body obsahuje jediná rovina.

I₅: Každá rovina obsahuje aspoň jeden bod.

I₆: Ak dva rôzne body priamky ležia v rovine, tak v nej ležia všetky body tejto priamky.

I₇: Existuje štvorica bodov neležiacich v jednej rovine.

I₈: Ak dve rôzne roviny majú spoločný jeden bod, majú spoločnú priamku, ktorá týmto bodom prechádza.

 

II. Axiómy usporiadania

Vymedzujú základný vzťah "ležať medzi", ktorý označíme znakom d. Skutočnosť, že bod C leží medzi bodmi A a B, budeme zapisovať symbolicky d(ACB).

II₁: Ak platí d(ACB), potom A, B, C sú navzájom rôzne body jednej priamky a platí aj d(BCA).

II₂: Ku každej dvojici rôznych bodov A, B existuje na priamke AB aspoň jeden taký bod C, že platí d(ACB).

II₃: Z troch rôznych bodov A, B, C jednej priamky najviac jeden leží medzi zvyšnými dvoma, platí práve jeden zo vzťahov d (ABC) , d (ACB) , d (BAC).

II₄: (Paschova axióma) Ak priamka p leží v rovine trojuholníka ABC, neprechádza ani jedným z jeho vrcholov a pretína jednu jeho stranu vo vnútornom bode, tak má spoločný bod ešte aspoň s jednou zo zvyšných dvoch strán trojuholníka (pretne ju vo vnútornom bode).

 

III. Axiómy zhodnosti

Opisujú zhodnosť úsečiek a uhlov, pomocou ktorej sa zavádza pojem zhodnosti aj pre ďalšie geometrické útvary.
Ku každej dvojici úsečiek U₁, U₂ je priradený práve jeden z výrokov U₁ U₂ , U₁ U₂.

Ku každej dvojici uhlov pq, rs je priradený práve jeden z výrokov pq rs, pq rs.

III₁: Ak je U úsečka a polpriamka, ktorá má začiatok v bode O, potom na existuje taký bod A, že UOA.

III₂: Pre každú úsečku AB platí ABBA.

Ak U₁ U₂, potom U₂ U₁. Ak U₁ U a U₂ U, potom U₁ U₂ .

III₃: Ak platí d(ABC), d(A'B' C') a AB A'B', BC B'C', potom AC A'C'.

III₄: Ak je daný pq a polrovina ( hA ) s hranicou h, na ktorej je zvolená polpriamka so začiatkom O, potom existuje práve jedna polpriamka so začiatkom v bode O a ležiaca v polrovine ( hA ) taká, že pq hk.

III₅: Pre každý uhol platí pq qp .
Ak platí pq rs , potom platí rs pq .
Ak pq rs a rs tv , potom pq tv .

III₆: Nech sú dané dva trojuholníky DABC, DA'B'C' a nech platí: ABA'B', AC A'C', BAC B'A'C'. Potom DABC DA'B'C'.

 

IV. Axiómy spojitosti

Umožňujú meranie úsečiek, ktoré musí vyhovovať určitým prirodzeným požiadavkám. Dĺžka úsečky musí byť nezávislá od miesta, na ktorom sa meranie uskutočňuje a žiadna nesmie byť nulová alebo záporná. Úsečka sa musí dať odmerať po častiach, pričom jej dĺžka sa rovná súčtu dĺžiek čiastkových úsečiek. Musí existovať aspoň jedna úsečka jednotkovej dĺžky. Archimedova axióma je výsledkom veľkého množstva skúseností z rôznych meraní a zaručuje merateľnosť úsečiek. Každej úsečke možno priradiť reálne číslo, ktoré je jej dĺžkou. Nezaručuje však, že každé reálne číslo je dĺžkou aspoň jednej úsečky. Túto skutočnosť zaručuje Cantorova axióma.

IV₁: (Archimedov výrok)
Nech sú na priamke dané body A, A₁ a B také, že d( A A₁ B ).
Ak na priamke definujeme postupnosť bodov A₁, A₂, ... , A_k-1, A_k, A_k+1, ... s podmienkami:
1. d( A_k-1 A_k A_{k +1})
2. A_k A_k+1 AA₁
ktoré platia pre každé prirodzené číslo k, potom existuje prirodzené číslo n také, že neplatí d( A A_n B ).

Archimedova axióma zaručuje existenciu miery úsečiek m(U) - funkcie definovanej na množine všetkých úsečiek so špecifickými vlastnosťami (kladná, aditívna, monotónna), ktorej obor hodnôt je množina nezáporných reálnych čísel. Každá úsečka, pre ktorú platí m(J)=1, sa nazýva jednotková úsečka (alebo jednotka) miery úsečiek m(U).

IV₂: (Cantorov výrok)
Nech je na priamke p daná postupnosť do seba zapadajúcich úsečiek (A_kB_k A_iB_i, i<k ) taká, že pre ľubovoľnú úsečku CD existuje v tejto postupnosti úsečka A_kB_k, ktorá je jej časťou, A_kB_k CD. Potom na priamke p existuje bod M , pre ktorý platí, že je bodom každej úsečky z danej postupnosti.

Ak m je ľubovoľná miera úsečiek a a je ľubovoľné kladné reálne číslo, Cantorova axióma zaručuje existenciu úsečky U, pre ktorú platí m(U) = a.

V euklidovskom priestore je daná karteziánska súradnicová sústava Oxyz(obr. 1.1).
Súradnicové osi x, y, z sú navzájom kolmé priamky (číselné osi s danými jednotkovými úsečkami) s jediným spoločným bodom, začiatkom súradnicovej sústavy O.
Rovina osí x, y je súradnicová rovina p, rovina osí y, z súradnicová rovina n a rovina osí x, z je súradnicová rovina m.
Roviny p, n, m sú navzájom kolmé roviny s jediným spoločným bodom O.
Každému bodu priestoru A Î E³ je jednoznačne priradená usporiadaná trojica reálnych čísel, ktoré vyjadrujú jeho vzdialenosti od súradnicových rovín m, n, p v danom poradí.
Nazývame ich (karteziánske) súradnice bodu, A = [ x_A, y_A,, z_A ].
Naopak, pre každú usporiadanú trojicu reálnych čísel [ x_B, y_B, z_B ] existuje jediný bod euklidovského priestoru taký, že jeho vzdialenosti od súradnicových rovín m, n, p sa postupne rovnajú číslam x_B, y_B, z_B.
Euklidovský priestor je afinný priestor so špeciálnymi vlastnosťami.
Axiómami spojitosti je zaručená možnosť merať úsečky, je definovaná euklidovská metrika.
Euklidovský priestor sa preto nazýva aj metrický. Jednotkou dĺžky je 1cm, uhly meriame v stupňoch, prípadne v radiánoch.

Množina všetkých zhodných, rovnobežných a zhodne orientovaných (ekvipolentných) úsečiek v E³ je vektor

a = AB = CD = EF = …, AB CD EF …, AB ­ ­ CD ­­ EF ­­ …

Každá z ekvipolentných úsečiek je jedným umiestnením - reprezentantom vektora B - A = AB = a .
Základným umiestnením vektora je úsečka , ktorej začiatočným bodom je začiatok súradnicovej sústavy.
Vektor nazývame polohovým vektorom bodu P.

Súčet (rozdiel) dvoch vektorov je vektor, a ± b = c.

Vektor je jednoznačne určený trojicou reálnych čísel, karteziánskymi súradnicami, ktoré získame z karteziánskych súradníc krajných bodov jeho ľubovoľného reprezentanta. Sú to karteziánske súradnice koncového bodu P jeho základného umiestnenia.

a = AB = B - A = [ x_B, y_B, z_B] - [x_A, y_A, z_A ] = [ x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A] = [a₁, a₂, a₃ ] = OP

Ľubovoľná usporiadaná trojica reálnych čísel určuje jediný vektor v E³. 0 = [ 0, 0, 0 ] je nulový vektor.
Vektory, pre ktoré platí a = kb, k 0 ( a = kb + lc, k, l 0 ), nazývame lineárne závislé - kolineárne (komplanárne).

Rozšírený euklidovský priestor E³

Doplňme každú priamku priestoru E³ (obr. 1.2) jediným nevlastným bodom A, ktorý je spoločným bodom všetkých priamok osnovy obsahujúcej danú priamku a || b || c || ... .
Každá rovina a = ap priestoru E³ sa takto doplní množinou nevlastných bodov všetkých svojich priamok
B Î p, A Î a, priamkou l = AB,
a stane sa tak rozšírenou euklidovskou rovinou E².
Všetky roviny tej istej osnovy v E³ sa doplnia tou istou priamkou.
Množina všetkých bodov pridaných k priestoru E³ bude nevlastná rovina l, a priestor, ktorý získame, nazývame rozšírený euklidovský priestor E³.
Každá priamka nevlastnej roviny l je nevlastná priamka l a každý bod je nevlastný bod A, B.
Ostatné body, priamky a roviny priestoru E³ sa nazývajú vlastné - P, c, a.
Rozšírený euklidovský priestor E³ je modelom projektívneho priestoru.

Každé dve rôzne roviny v E³ sú rôznobežné a ich spoločná priamka (priesečnica) je vlastná alebo nevlastná priamka priestoru.
Každé dve rôzne priamky v E³ sú rôznobežné alebo mimobežné, ich prienikom je množina obsahujúca jediný spoločný bod - vlastný alebo nevlastný (priesečník), alebo je prázdna.

Pridané nevlastné útvary priamky a roviny priestor E³ "uzavrú", čím stráca zmysel pojem usporiadania pôvodného euklidovského priestoru (axiómy II. skupiny). Metriku euklidovského priestoru tiež nemožno uplatniť na pridané nevlastné prvky E³. Množina všetkých vlastných bodov E³ si zachováva svoju afinnú štruktúru, metrické vlastnosti platné v E³.
Túto skutočnosť využijeme a s množinou vlastných bodov priestoru E³ budeme pracovať ako s podmnožinou invariantnou vzhľadom na metrické transformácie priestoru. Všetky známe vzťahy a operácie definované pre útvary priestoru E³ budú platiť aj pre vlastné útvary priestoru E³, pričom pri výpočtoch budeme používať karteziánske súradnice bodov útvarov.

Homogénna sústava súradníc v projektívnom priestore E³ je rozšírením karteziánskej súradnicovej sústavy v euklidovskom priestore E³ (obr. 1.3).

Homogénnymi súradnicami bodu A = [x_a, y_a, z_a] euklidovského priestoru E³ sa nazýva každá usporiadaná štvorica reálnych čísel ( a₁, a₂, a₃, a₄ ), a₄ 0, pre ktorú platí:

Každý vlastný bod priestoru E³ má nenulovú súradnicu a_4.
Základný tvar homogénnych súradníc vlastného bodu A je usporiadaná štvorica

( x_a, y_a, z_a, 1).

Pojem nevlastný bod priamky budeme často nahrádzať pojmom smer, rovnobežné priamky majú spoločný smer - incidujú s tým istým nevlastným bodom. Je preto žiadúce, aby bol nevlastný bod reprezentovaný ľubovoľným smerovým vektorom ktorejkoľvek z priamok, s ktorými inciduje. Pojem vektor, známy z euklidovského priestoru, budeme používať
aj v priestore E³. Jeho definícia ako množina všetkých ekvipolentných úsečiek nám umožní určiť jeho homogénne súradnice.

Ktorýkoľvek reprezentant vektora a je orientovaná úsečka určená krajnými bodmi, a = BC, ktoré sú vlastnými bodmi priestoru. Homogénne súradnice vektora a získame ako rozdiel homogénnych súradníc krajných bodov zvolenej úsečky v základnom tvare. Homogénne súradnice vektora reprezentujúceho nevlastný bod U budú homogénnymi súradnicami tohto bodu. Všetky kolineárne vektory reprezentujú ten istý nevlastný bod.

a = C - B = ( x_c, y_c, z_c, 1 ) - ( x_b, y_b, z_b, 1 ) = ( x_c - x_b, y_c - y_b, z_c - z_b, 1 ) = ( x_u, y_u, z_u, 0 )

Homogénnymi súradnicami nevlastného bodu z E³ je každá usporiadaná štvorica reálnych čísel
( x_u, y_u, z_u, 0 ) = k( a₁, a₂, a₃, 0 ), kde čísla a₁, a₂, a₃ sú karteziánske súradnice jeho zvoleného reprezentanta.