5. ELEMENTÁRNE KRIVKY

definovaná, spojitá a aspoň raz diferencovateľná na intervale I. Krivka je hodografom vektorovej funkcie r(u).
Hodnotou vektorovej funkcie pre a ∈ I je polohový vektor r(a) = (x(a), y(a), z(a)) bodu P(a) krivky.
Číslo a ∈ I nazývame parametrická - krivočiara súradnica bodu P(a), ktorá vyjadruje jeho polohu na krivke. Funkcie x(u), y(u), z(u) nazývame súradnicové funkcie.

Vivianiho krivka je dráhou bodu v pohybe zloženom z dvoch osových otáčaní, okolo súradnicovej osi z a súčasne okolo súradnicovej osi x.


Ak je I uzavretý interval, hovoríme o oblúku krivky. Pri počítačovom spracovaní je vhodné kvôli jednotnosti zápisu voliť parametrizáciu oblúka krivky na intervale I = <0, 1>. Vektorovou funkciou je definovaná orientácia oblúka krivky, začiatočný bod má krivočiaru súradnicu 0, koncový bod 1.
Oblúk krivky sa nazýva uzavretý, ak P(0) = P(1).
Ak existujú dve rôzne reálne čísla a, b ∈ I, pre ktoré platí r(a) = r(b), teda bod oblúka krivky určený krivočiarou súradnicou "a" a bod určený krivočiarou súradnicou "b" sú totožné, potom P(a) = P(b) nazývame dvojnásobný bod krivky. Ak existuje n takýchto reálnych čísel z intervalu I, bod sa nazýva n-násobný.

Analytická reprezentácia krivky - vektorová funkcia r(u) = (x(u), y(u), z(u)) pre u ∈ I je ekvivalentná
s parametrickými rovnicami krivky

x = x(u), y = y(u), z = z(u) , u ∈ I

Derivácia r´(u) = (x´(u), y´(u), z´(u)) vektorovej funkcie r(u) je vektorová funkcia vyjadrujúca pre a ∈ I smerový vektor dotyčnice oblúka krivky v bode P(a)

r´(a) = (x´(a), y´(a), z´(a)).

Jeho orientácia je zhodná s orientáciou oblúka krivky v bode P(a). Bod krivky, v ktorom sa mení orientácia vektora dotyčnice, sa nazýva bod vratu (kuspidálny bod).
Priamka, určená bodom P(a) a smerovým vektorom r´(a) sa nazýva dotyčnica.
Bod oblúka krivky, v ktorom je smerový vektor dotyčnice nenulový, nazývame regulárny bod.
Ak r´(a) = 0, bod P(a) je singulárny.
Regulárny bod krivky nazývame inflexný bod, ak je druhá derivácia vektorovej funkcie krivky v tomto bode nulovým vektorom

r´´(a) = (x´´(a), y´´(a), z´´(a)) = 0

Vlastnosti krivky vyjadrené v jej regulárnych bodoch pomocou derivácií bodovej funkcie, veľkostí vektorov r´(a), r´´(a), prípadne r´´´(a), nazývame vnútorné (geometrické) vlastnosti.

Jednotkový vektor dotyčnice t(a) v regulárnom bode P(a) oblúka krivky vyjadríme vzťahom

Jednotkový vektor binormály b(a) je vektor, ktorý získame ako vektorový súčin vektorov prvej a druhej derivácie funkcie r(u) v regulárnom bode P(a) oblúka krivky

Priamka určená bodom P(a) a smerovým vektorom b(a) sa nazýva binormála.

Jednotkový vektor (hlavnej) normály n(a) v regulárnom bode P(a) oblúka krivky je vektorový súčin jednotkových vektorov binormály a dotyčnice

n(a) = b(a) x t(a)

Priamka určená bodom P(a) a smerovým vektorom n(a) sa nazýva hlavná normála.

V každom regulárnom bode oblúka čiary P(a) existujú tri na seba kolmé jednotkové vektory

t(a) ⊥ b(a) ⊥ n(a) ⊥ t(a)

určujúce tri kolmé priamky, t ⊥ b ⊥ n ⊥ t, so spoločným bodom P(a). Každé dve z nich určujú rovinu.
Všetky roviny prechádzajúce dotyčnicou t sú dotykové roviny oblúka čiary v bode P(a).
Oskulačná rovina ωje určená dotyčnicou a normálou, ω = tn.
Rektifikačná rovina ρ je určená dotyčnicou a binormálou, ρ = tb.
Normála a binormála určujú normálovú rovinu ν = nb.
Roviny ω, ρ a ν sú na seba kolmé, majú spoločný bod P(a) a každé dve sa pretínajú v spoločnej priamke.

Frenet-Serretov sprievodný trojhran čiary v regulárnom bode P(a) je geometrický útvar jednoznačne určený ako prienik troch polpriestorov s hraničnými rovinami ω, ρ, ν a smerovými vektormi b, n, t (v danom poradí).
Hrany sú polpriamky so spoločným začiatkom vo vrchole trojhranu P(a).
Oblúk krivky v okolí bodu P(a) leží vnútri F-S trojhranu, pomocou jeho prvkov vyjadrujeme vnútorné vlastnosti krivky v okolí regulárneho bodu P(a).

Odchýlku oblúka krivky od dotyčnice v danom bode P(a) vyjadruje prvá krivosť krivky - flexia.
Je to nezáporné číslo ¹k vyjadrené vzťahom

V inflexnom bode čiary je ¹k = 0. Ak je ¹k = 0 v každom regulárnom bode oblúka krivky, ide o úsečku.
Priamka je krivka nulovej prvej krivosti, kružnica je krivka konštantnej prvej krivosti.

Polomer prvej krivosti v danom bode P(a) je číslo ¹ρ = 1/¹k, pre ¹k 0.
Pre ¹k = 0 hovoríme o nekonečne veľkom polomere krivosti.

V oskulačnej rovine ω krivky k v bode P(a) leží oskulačná kružnica krivky v danom regulárnom bode.
Jej stred ¹S (stred prvej krivosti) je bod normály ležiaci na polpriamke určenej bodom P(a) a vektorom n(a)
vo vzdialenosti I¹SP(a)I = ¹ρ od bodu P(a), teda jej polomer sa rovná polomeru prvej krivosti v danom bode.
Oskulačná kružnica oskuluje v okolí bodu P(a) oblúk krivky, je s ním totožná.

Odchýlku krivky od oskulačnej roviny v neinflexnom bode P(a) vyjadruje druhá krivosť krivky - torzia ²k.
Je to číslo vyjadrené vzťahom

V inflexnom bode krivky je ²k = 0. Ak je ²k = 0 v každom bode krivky, leží celá krivka v jednej oskulačnej rovine, je rovinnou krivkou.
Priamka je krivka nulovej flexie aj torzie.
Kružnica je krivka konštantnej (nenulovej) prvej aj druhej (nulovej) krivosti.
Skrutkovica je krivka konštantných nenulových krivostí.

Rektifikácia oblúka krivky je rozvinutie krivky v okolí daného bodu P(a) do rektifikačnej roviny krivky v tomto bode. Konštrukcia, ktorou zistíme dĺžku oblúka krivky, sa tiež nazýva rektifikácia. Výpočtom možno dĺžku oblúka krivky určiť zo vzťahu

Stupeň krivky je číslo udávajúce najväčší možný počet jej priesečníkov s priamkou.
Priamka je krivka prvého stupňa, kužeľosečky sú krivky druhého stupňa - kvadratické.
Oblúk krivky, ktorý sa s priamkou pretína najviac trikrát, je tretieho stupňa - kubický, atď.

D. Velichová, 3D geometria