Kruhová inverze

Kamil Maleček, Fakulta Stavební ČVUT, Thákurova 7,166 29 Praha 6,
e-mail: kamil@mat.fsv.cvut.cz

Dagmar Szarková, Strojnícka fakulta STU, Námestie Slobody 17, 812 31 Bratislava
e-mail: szarkova@sjf.stuba.sk

Abstrakt: V příspěvku se zabýváme transformacemi v rovině , které jsou tvořeny pomocí složení dvou lineárních promítání a regulární rotační kvadratické plochy . Takto vytvořená transformace je buď kruhová inverze nebo složení kruhové inverze se středovou souměrností.

1. Úvod

V [1] jsme ukázali, jak tvořit geometrickým způsobem některé lineární transformace v rovině chápané jako rozšířenou euklidovskou rovinu. Transformaci f jsme tvořili pomocí další roviny a složení dvou lineárních promítání f₁ a f₂ tak, že f(X) = X ´= f₂◦ f₁(X). Takto lze vytvořit i osovou souměrnost, kdy rovina je kolmá k rovině a promítaní f₁ a f₂ jsou středová promítání daná středy S₁ a S₂, které jsou souměrné podle roviny a neleží v rovině . Ze způsobu zavedení plynou tyto velmi dobře známé vlastnosti osové souměrnosti – obr.1:

i)     přímka o =   je množina samodružných bodů, bodově samodružná přímka o, je osa souměrnosti,
ii)    přímka o rozdělí rovinu na dvě poloroviny a obrazem jedné poloroviny je druhá polorovina,
iii)   přímky a kružnice kolmé k ose souměrnosti jsou samodružné,
iv)   osová souměrnost je involuce.

Obr. 1.

 Protože osová souměrnost je involuce, tak nezáleží na pořadí v jakém skládáme středová promítání f₁ a f₂. Platí, že f(X) = X ´= f₂◦ f₁(X) =  f₁◦ f₂(X). Tuto vlastnost nemají další transformace z [1].

 Dále se budeme zabývat transformacemi v rovině (zatím je euklidovská rovina), které jsou tvořeny obdobně jako transformace v [1] pomocí složení dvou lineárních promítání, ale rovinu nahradíme regulární rotační kvadratickou plochou. Ukážeme, že takto vytvořená transformace je buď kruhová inverze nebo složení kruhové inverze se středovou souměrností. Kruhová inverze má obdobné vlastnosti jako osová souměrnost, a proto je kruhová inverze považována za analogii osové souměrnosti. Ve [2] se kruhová inverze nazývá souměrností podle kružnice.

2. Kruhová inverze

 V euklidovském prostoru E₃ mějme dánu rovinu a kulovou plochu se středem O , O   a poloměrem k. Uvažujme dvě středová promítání f₁ a f₂ se středy S₁ a S₂ , S₁ , S₂ a S₁S₂  , viz obr. 2.

Obr. 2.

Konstrukce 1 obrazu X´ zvoleného bodu X  – obr. 2:

1. Sestrojíme bod , který je průmětem bodu X na plochu v promítání f₁:   =   .

2. Bod X´ je průmětem bodu  do roviny v promítání f₂:   X´ =    .

Bod O nemá obraz. Obraz bodu O dodefinujeme jako nevlastní bod roviny  .  Rovina doplněná jedním nevlastním bodem se nazývá Möbiova rovina.

Analytické vyjádření transformace popsané v konstrukci 1

Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, jak je znázorněno na obr. 2. Kulová plocha  má rovnici

(1)             ,

bod S₁ = [0, 0, k] a bod X = [u, v, 0] . Přímka = S₁X má parametrické vyjádření

(2)            .

Dosadíme-li parametrické rovnice z (2) do rovnice (1), tak dostaneme pro parametr t rovnici

(3)            . 

Nás zajímají souřadnice bodu , pro který

a po dosazení do (2) je

Bod S₂ = [0, 0, -k] a přímka = S₂ má parametrické vyjádření

(4)          

Pro bod X´=     je parametr

a po dosazení do rovnic (4) dostaneme

Píšeme-li místo u resp. v označení x resp. y, pak transformace má analytické vyjádření

(5)          

a to je analytické vyjádření kruhové inverze, která je v rovině dána kružnicí, jejíž střed O je střed inverze a k² je mocnost inverze.

2.1. Vlastnosti kruhové inverze

 Uvažujme kulovou plochu jako referenční plochu zeměkoule, body S₁ a S₂ jsou severní a jižní pól, rovina je rovina rovníku. Promítání f₁ a f₂ můžeme interpretovat jako stereografické projekce do roviny . Z vytvoření kruhové inverze složením obou projekcí plynou některé její vlastnosti.

*     Kruhová inverze má vlastnosti analogické vlastnostem i) – iv) osové souměrnosti:

i)       přímka o je nahrazena kružnicí o (množina samodružných bodů), o =    (obr. 2),

ii)      úlohu polorovin hraje kruh ohraničený kružnicí o a jeho doplněk v (obr. 2),

iii)     přímky a kružnice kolmé ke kružnici o jsou samodružné (obr. 4),

iv)     inverze je involuce, na obr. 2 viz body .

*     Kruhová inverze je konformní zobrazení.

Protože stereografická projekce je konformní zobrazení, tak i složené zobrazení f₂◦ f₁ je konformní zobrazení v rovině .

*     Obrazem přímky, která prochází středem inverze je táž přímka. Obrazem každé přímky, která neprochází středem inverze, je kružnice, která prochází středem inverze a naopak. Obrazem kružnice, která neprochází středem inverze je opět kružnice.

2.2. Obraz kružnice v kruhové inverzi

 Na schematickém obr. 3 je znázorněna konstrukce kružnice k´, která je obrazem kružnice k neprocházející středem inverze. Promítací plocha kružnice k v promítání f₁ je kruhová kuželová plocha ₁ s vrcholem S₁. Průmětem kružnice k na kulovou plochu je kružnice a její průmět do roviny v promítání f₂ je kružnice k´, která je řezem promítací kruhové kuželové plochy ₂ rovinou .

Na schematickém obr. 4 je znázorněná obdobná situace pro případ, kdy k = k' , kružnice k a o jsou ortogonální. Všimněme si speciální polohy roviny , ve které leží kružnice , a roviny . Jsou kolmé a průsečnice rovin a je průměrem kružnice .

Obr. 3	Obr. 4

Poznámka 1 o středovém průmětu kružnice:

Uvažujme středové promítání dané středem S₁ a průmětnou . Na obr. 3 a 4 vidíme, že středovým průmětem kružnice k je kružnice , i když kružnice nejsou v průčelné poloze.

Poznámka 2 o průniku kruhových kuželových ploch:

Nechť ₁ a ₂ jsou kruhové kuželové plochy v poloze znázorněné na obr. 3 (obr. 4). Pak průnik kuželových ploch ₁ a ₂ se rozpadá na dvě kružnice a l. Obě kružnice navíc leží na kulové ploše , pro kterou je kružnice l hlavní kružnicí.

 Lze toto tvrzení obrátit? Jinak řečeno: rozpadá se průnik dvou kruhových kuželových ploch na dvě kružnice i v jiné jejich poloze?

3. Kruhová inverze vytvořená pomocí rotačního elipsoidu

 V rovině je kruhová inverze dána kružnicí o samodružných bodů. Nahraďme proto kulovou plochu rotačním elipsoidem ¹, jehož řez rovinou je kružnice o. Označme ¹S₁ a  ¹S₂ jeho vrcholy. Na obr. 5 vidíme, že modifikace konstrukce 1 na elipsoid ¹ vede ke kruhové inverzi z předchozího odstavce. Elipsoid ¹ je totiž obrazem kulové plochy v dilataci dané rovinou a dvojicí S₁ ¹S₁vzoru a obrazu.

Poznámka 3 o bodové konstrukci elipsy:

Na obr. 5 je vlastně znázorněna bodová konstrukce elipsoidu ¹, resp. bodová konstrukce jeho meridiánové elipsy pomocí inverze.

 Nechť elipsa je dána vrcholy K, L na ose x a vrcholy ¹S₁ a ¹S₂ na ose z. Nechť X a X´ je dvojice odpovídajících si bodů v inverzi na přímce x, která má střed O a K, L jsou její samodružné body. Potom průsečík přímek ¹S₁X a ¹S₂X´ je bod elipsy, na obr. 5 je to bod ¹.

Obr. 5	Obr. 6.

4. Kruhová inverze vytvořená pomocí rotačního paraboloidu

 Vytvoření kruhové inverze pomocí rotačního paraboloidu vidíme na schematickém obr. 6. Promítání f₁ je středové promítání se středem S₁ – vrchol paraboloidu, f₂ je rovnoběžné promítání, jeho směr je dán směrem osy paraboloidu. Analytické vyjádření (5) bychom odvodili podobně jako ve 2. odstavci.

Poznámka 4 o bodové konstrukci paraboly:

Na obr. 6 je znázorněna bodová konstrukce meridiánové paraboly rotačního paraboloidu. Parabola je dána vrcholem S₁, osou a body K, L ,  které jsou souměrné podle osy. Jsou-li X a  X´ vzorem a obrazem v inverzi na přímce x = KL , pak bod = je bodem paraboly.

Na obr. 7 je znázorněna konstrukce kružnice k´, která je obrazem kružnice k v kruhové inverzi. Konstrukce je provedena pomocí promítací plochy ₁ – kruhová kuželová plocha a  ₂ – eliptická válcová plocha. Průnik promítacích ploch se rozpadá na elipsu a kružnici l.  Bezprostředním důsledkem je známé tvrzení:

Pravoúhlý průmět elipsy na rotačním paraboloidu do roviny kolmé k ose rotace je kružnice.

5. Transformace vytvořená pomocí dvojdílného rotačního hyperboloidu

 Plocha je dvojdílný rotační hyperboloid, jehož meridiánem je rovnoosá hyperbola s vrcholy S₁ a S₂ na ose rotace. Vytvoření transformace pomocí středových promítání f₁ a f₂ se středy S₁ a S₂ vidíme na schematickém obr. 8. Tato transformace má analytické vyjádření

(6)           

Je zřejmé, že transformace je složení kruhové inverze (5) a středové souměrnosti se středem O. Transformace nemá reálné samodružné body.

Obr. 8.

Literatura: